122 év után igazolták a háromszög négyszögesítéséről szóló feladvány megfejtését
Henry Dudeney angol matematikus 1902-ben egy újságban megjelentetett feladványában arra kérte az olvasóit, hogy egy egyenlő oldalú háromszöget a lehető legkevesebb elemre daraboljanak fel úgy, hogy abból egy négyzetet is ki tudjanak rakni. Két héttel később azt közölte, hogy a manchesteri Charles William McElroy a háromszöget négy darabra osztva tudta megoldani a problémát, majd újabb két hét elteltével azt írta, hogy nem érkezett jobb megfejtés. A japán Kamata Tonan és munkatársai egy 2024 végén megjelent tanulmányban igazolták, hogy valóban nem lehet négy elemnél kevesebből megoldani a problémát.
„Azt hiszem, sokan, akik értékelik a matematikát, egyetértenek abban, hogy minél egyszerűbbnek tűnik egy megoldatlan probléma, annál mélyebben megragadja azokat, akik szeretik a matematikát” – idézte Kamatát a Scientific American.
A japán matematikus a gráfelméletet hívta segítségül a darabolós probléma megoldásához. A gráf csúcsok, csomópontok valamint összeköttetések, más néven élek halmaza.
Azt könnyen lehetett bizonyítani, hogy két részre osztott háromszögből nem lehet kihozni egy vele azonos területű négyzetet. Egy négyzet leghosszabb lehetséges vágásvonala az átlója, de az túl rövid, hogy egy a négyzettel egyenlő területű háromszög éle legyen.
Azt, hogy nincs háromrészes megoldás, már sokkal nehezebb volt bizonyítani, mert egy háromszög feldarabolásának végtelen számú módja van. „Mindegyik darabnak tetszőlegesen sok éle lehet, és a vágások koordinátái tetszőleges pontokon kezdődnek. Vannak a folytonos paraméterek, ahol sok-sok végtelen számú lehetséges választás van, ami bosszantóan nehézzé teszi a dolgot. Nem lehet csak úgy számítógépes erőltetéssel megoldani” – mondta Erik Demaine, az egyik társszerző.
A probléma megoldásához a csoport egy egyenlő oldalú háromszög lehetséges darabolásait kategorizálta aszerint, hogy a vágások hogyan metszik a háromszög éleit. Először a kutatók öt egyedi osztályba sorolták a háromszög végtelen számú vágási módját, majd megismételték a feladatot a négyzettel, és 38 különböző osztályt találtak.
A kutatók ezután megpróbáltak egy háromszög alakú gráfot egy négyzet alakúval összevetni úgy, hogy mindkét alakzatban végigkövetik az összes lehetséges útvonalat, és összehasonlítják az élek hosszait és szögeit. Ha az egyik négyzet útvonala megegyezett volna a háromszögével, az azt jelentette volna, hogy a kutatók felfedeztek egy háromdarabos megoldást.
Végül a csoport segédtételeket alkalmazva bebizonyította, hogy a kapott eredményeikben nincs ellentmondás, tehát négynél kevesebb elemből nem oldható meg Dudeney feladványa.
